จำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป n เหลี่ยม

จำไม่ได้แล้วว่าต้อนนั้นคิดอะไรถึงอยากจะรู้จำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ จำได้แค่ว่าจู่ ๆ ก็หยิบปากกากับกระดาษมานั่ง ๆ นอน ๆ คิดอะไรไปเรื่อย ๆ จนได้คำตอบออกมาเป็นสูตร ซึ่งตรงกับสูตรในการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ พอดี

ตอนที่คิดมันเริ่มจาก

  • รูป 4 เหลี่ยม มีมุมทั้งหมด 4 มุม ก็วาดจุด 4 จุดก่อน ยังไม่ต้องวาดเป็น 4 เหลี่ยม
  • มุมที่ 1 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ ที่เหลือได้ 3 มุม
  • มุมที่ 2 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ โดยไม่ซ้ำกับมุมแรกได้ 2 มุม
  • มุมที่ 3 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ โดยไม่ซ้ำกับมุมแรกและมุมที่สองได้ 1 มุม
  • มุมสุดท้ายลากเส้นไปไหนไม่ได้เลย

แล้วก็ลองทำกับรูป 5 เหลี่ยม ก็เริ่มเห็นรูปแบบออกมาว่า ถ้ารูป n เหลี่ยมใด ๆ จะสามารถลากเส้นจากมุมมุมหนึ่งไปยังมุมที่เหลือโดยไม่ซ้ำกันได้เท่ากับ \((n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 1 + 0\) มุม ก็จะเป็นผลบวก x จำนวน เมื่อ x เริ่มต้นจาก 0 ถึง n-1 ก็จะมีค่าเป็น \(\frac{n(n-1)}{2}\)

แต่ \(\frac{n(n-1)}{2}\) มันจะรวมทุกเส้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่เราจะเอาเฉพาะเส้นทะแยงมุม ดังนั้นก็ให้ลบเส้นรอบรูปออก n เส้น ก็จะกลายเป็น \(\frac{n(n-1)}{2} – n\) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(\frac{n^2}{2} – \frac{n}{2} – n\) หรือ \(\frac{n^2 – 3n}{2}\) หรือ เราจะได้ \(\frac{n(n-3)}{2}\) เป็นสูตรในการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ

เช่น ถ้าต้องการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม ก็เอา 10 ไปแทนใน n ของสมการ ก็จะได้เป็น \(\frac{10(10-3)}{2}\) หรือ \(\frac{70}{2}\) หรือจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม จะมีจำนวน 35 เส้นนั่นเอง

เพิ่มเติม

ไปได้วิธีที่น่าสนใจจากดิวกับรุ่งมา 2 วิธี

ใช้วิธีจัดหมู่ (Combination) ในเรื่องความน่าจะเป็น

รูป n เหลี่ยมใด ๆ มี n จุดเป็นมุม เราสามารถจับคู่มุมสองมุมใด จาก n มุม ได้ \(C_{n,2}=\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-2)!2!}\) วิธี

เสร็จแล้วเราก็ตัดเส้นรอบรูปออก ก็จะได้ \(\frac{n!}{(n-2)!2!} – n\) เป็นอีกวิธีหนึ่ง

ถ้าต้องการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม ก็จะได้ \(\frac{10!}{(10-2)!2!} – 10\) ก็จะได้คำตอบเป็น 35 เส้นเช่นเดียวกัน

อีกวิธีคิดแบบนี้

  • รูป n เหลี่ยม มี n จุดเป็นมุม ลากเส้นจากจุดใด ๆ ไปยังจุดอื่น ๆ ในรูปโดยไม่นับตัวมัและจุดสองข้าง (จุดที่ทำให้เกิดเป็นเส้นรอบรูป) ได้ทั้งหมด \(n-3\) วิธี
  • มีจุดทั้งหมด n จุด ดังนั้น วิธีทั้งหมดจะได้ \(n(n-3)\) วิธี
  • แต่วิธีนี้มันจะได้เส้นที่ทับกันไปกลับของ 2 จุดอยู่ ดังนั้นจับหาร 2 ก็จะได้ \(\frac{n(n-3)}{2}\) ออกมาเป็นสูตรเดียวกันกับวิธีแรกสุด

Leave a Reply